Seja a função abaixo definida

f x , y = exp ⁡ 2 x 2 + y 2 - 4 ,     s e   x 2 + y 2 < 4 0 ,                           s e   x 2 + y 2 ≥ 4

  1. Determine o conjunto dos pontos de continuidade de f ( x , y ) .
  2. Determine a função gradiente de f ( x , y ) .
  3. Determine o conjunto dos pontos onde f ( x , y ) é diferenciável.

Passo 1

Faaala, pessoal! Para início de conversa, observe que para x 2 + y 2 > 4 , f x , y = 0 é contínua uma vez que é polinomial. E para x 2 + y 2 < 4 , f é contínua, pois é composição de funções contínuas: e x p ⁡ ( x ) e 2 / ( x 2 + y 2 - 4 ) esta última com denominador não-nulo.

Contudo, para x 2 + y 2 = 4 , no qual f x , y = 0 , temos que verificar se os limites laterais equivalem ao valor que a função assume nessa curva. Obviamente,

lim x 2 + y 2 → 4 + ⁡ f ( x , y ) = lim x 2 + y 2 → 4 + ⁡ 0 = 0

Ademais,

lim x 2 + y 2 → 4 - ⁡ f x , y = lim x 2 + y 2 → 4 - ⁡ exp ⁡ 2 x 2 + y 2 - 4 = 0

Uma vez que o expoente tende a - ∞ . Logo, f também é contínua nessa curva.

Disto, concluímos que f ( x , y ) é contínua em R 2 .

Resposta

R 2

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