Verifique se a função é contínua. Caso contrário, redefina de maneira que f se estenda a uma função contínua quando possível.

g)

f(x, y) = (x^2 * y + x * y^2) / (x^2 + y^2)

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... queremos saber se a função dada é contínua.

Mas como podemos fazer isso?

Para isso, temos que fazer o limite da função em um possível ponto de descontinuidade, nesse caso, quando x , y → 0,0 .

Depois, basta manipular o limite para esse ponto!!

E aí? Bora lá??

Passo 2

Bom... fazendo o limite da função par ao ponto de possível descontinuidade, temos:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y + x y 2 x 2 + y 2

Onde fazemos x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ .

Assim, substituindo, temos:

lim r → 0 ⁡ r 3 cos 2 ⁡ θ sin ⁡ θ + r 3 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ

Passo 3

Agora, manipulando o limite, encontramos:

lim r → 0 ⁡ r 3 cos 2 ⁡ θ sin ⁡ θ + r 3 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ ∴

Sabendo que sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 , temos:

lim r → 0 ⁡ r 3 cos 2 ⁡ θ sin ⁡ θ + r 3 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ r 2 ∴

lim r → 0 ⁡ r cos 2 ⁡ θ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ = 0

Dessa forma, para que f seja contínua, ela deve ser modificada para:

f x , y = 0 ,   s e   x , y = 0,0 x 2 y + x y 2 x 2 + y 2 ,   s e   x , y ≠ 0,0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Para que f seja contínua, ela deve ser modificada para:

f x , y = 0 ,   s e   x , y = 0,0 x 2 y + x y 2 x 2 + y 2 ,   s e   x , y ≠ 0,0

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