USP – Cálculo 2 – 2019 – P1 – Exercício 16
Considere a função definida por
Então
a) não é contínua no ponto .
b) a curva de nível contem o ponto .
c) existe o limite , mas não é contínua nesse ponto.
d) é contínua no ponto .
e) é contínua no ponto .
Passo 1
Eai pessoal, prontos para uma questão?
Repare que o enunciado forneceu uma função de duas variáveis:
Ele faz várias considerações sobre essa função é quer saber qual é a correta. Para isso, vamos calcular três limites:
Vamos olhar primeiro para . Escolhendo o caminho com . Note que nessa situação, :
Assim, por esse caminho:
Vamos escolher agora um outro caminho que passe por , como . Assim, . Vamos fazer , de modo que . Assim,
Esse limite explode para . Assim, vemos que os limites por caminhos diferentes são diferentes. Portanto, concluímos que esse limite não existe!
Passo 2
Vamos olhar agora para o limite . Fixando com (mas ), obtemos a curva . Assim,
Assim,
Como o limite por um caminho já explodiu, podemos garantir que ele não existe!
Passo 3
Já para , consideramos . Fazendo (de modo que ):
Assim,
Como o limite explode por esse caminho, já sabemos que ele não existe!
Olha que curioso, nenhum dos limites considerados existem...
Passo 4
Vamos analisar cada afirmativa:
Alternativa A: não é contínua em . Vimos que o limite não existe, isto é,
O limite existir é uma condição necessária para que a função seja contínua no ponto. Portanto, podemos afirmar que não é continua em . A afirmativa está correta!
Alternativa B: a curva de nível contem o ponto . Para que esse ponto esteja na curva de nível , deveríamos ter . Mas note que
Assim, essa afirmativa é falsa!
Paras as demais afirmativas, vimos que os limites não existem, logo as funções não contínuas nos pontos dados. Todas elas estão erradas!
Pode ir firma na alternativa A pois só ela é correta!
Resposta
Alternativa A.