UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 2. Questão 5a.
5- Encontre o valor de a para que a função dada seja contínua em :
a)
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Essa questão é muito bacana! Foi dada uma função e o objetivo principal é calcular o valor de para que a função seja contínua no ponto .
Ok, mas como podemos fazer isso?? 🤔
Primeiro vamos chamar de
Certamente, no ponto a função é descontínua já que não temos como calcular .
Para contornar a situação, temos que determinar um valor para preencher o “buraco” feito por essa descontinuidade.
Para preencher este buraco, temos que calcular o limite da função quando , ou seja, calcular o valor que tende, quando tende a .
Bora lá!
Passo 2
Calculando o limite de , temos
Para essa função, vamos aplicar teorema do confronto ou método do sanduíche.
Na função , temos e não conseguimos tirar essa divergência de quando tende a .
Então nesses casos, temos que usar o teorema do confronto.
Vamos chamar de e de . Ou seja, podemos representar como
A ideia é a seguinte:
Toda função seno, varia entre e , ou seja está contida neste intervalo.
A função tende a quando tende a .
Com isso, como temos multiplicando algo que varia entre e , o resultado será .
Passo 3
A forma mais didática de se escrever isso é:
Considerando
A função seno varia entre e , logo
ou
Multiplicando por todos os lados
Se tende a em , temos
Isso significa que varia entre e quanto e tende a , ou seja, tende a .
Voltando como e como
Ou seja, para tampar o buraco feito pela divergência em , deve assumir o valor de .
Logo, tem que ser igual a
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
