USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 21f
Verifique se cada uma das leis abaixo define uma função contínua em todo :
(f)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente verificar se a função definida por partes é contínua no plano .
Pra fazer essa verificação, vamos olhar para a parte “problemática” da função. Repare que ela tem uma lei de formação em e outra para . Então, se ela for contínua, o valor que a função assume nesse ponto, precisa ser igual ao valor do limite da função no ponto.
Nós já sabemos que para , temos . Então, vamos apenas verificar se o limite nesse ponto existe e se tem o mesmo valor.
Assim, se esse limite for igual a um, nós podemos dizer que a função é contínua no ponto e, portanto, contínua em todo seu domínio.
Vamos lá!
Passo 2
Nosso limite é dado por:
Como a função seno é sempre limitada entre e , independente do argumento dela, temos:
Dividindo todo mundo por :
E aplicando o limite em todos os termos:
Agora repare que, pelo Teorema do confronto, se os limites das funções nos extremos existirem e forem iguais, o limite da função do meio também vai ser existir e terá o mesmo valor.
Passo 3
Então, vamos primeiro verificar a existência de:
Calculando esse limite ao longo do caminho :
E ao longo de :
Portanto, .
Passo 4
Da mesma forma, para em , teremos:
E ao longo de :
Passo 5
Assim, vamos ter:
Portanto, pelo Teorema do confronto:
E a nossa função é descontínua no ponto .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉