Considere as funções
Se definirmos , podemos afirmar que
- Somente são contínuas em
- Somente são contínuas em
- Somente são contínuas em
- Nenhuma das demais respostas
- Somente e são contínuas em
Passo 1
Uma função é contínua em se
Como não sabemos o valor de nenhuma dessas funções em , provavelmente o que vai ditar se elas são ou não contínuas será se o limite existe ou não.
Vamos tentar calcular cada um desses limites então.
Passo 2
Começando por :
Tentando a simples substituição temos:
Portanto esse limite existe e a função é contínua.
Passo 3
Vamos para :
Agora o buraco já fica mais embaixo, porque se tentarmos a simples substituição, chegaremos na indeterminação .
Vamos tentar provar que esse limite não existe.
Primeiro vamos testar o caminho
Agora vamos testar o caminho
Uhul, o limite não existe mesmo. Então a função não pode ser contínua.
Passo 4
Agora a função :
Se tentarmos a substituição simples, cairemos em algo do tipo
Só que isso é uma parada que tende ao infinito, ou seja, esse limite não existe.
Assim, temos mais um limite que não existe, mais uma função que não é contínua.
Passo 5
Vamos para a analise da função
Como só tem e no numerador e no denominador, a simples substituição levará a uma indeterminação .
Vamos então seguir aquela mesma lógica de que esse limite não existe.
Começando pelo caminho :
Show, agora vamos tentar o caminho :
Então, a função também não é contínua.
Passo 6
Finalmente, vamos testar nossa ultima função:
Fazendo a substituição, pra variar, chegaremos a indeterminação .
Mas aqui, temos um “problema”. O grau do numerador é maior que o grau do denominador, o que nos leva a crer que não conseguiremos provar que o limite não existe, portanto, é bem provável que ele exista.
A ideia aqui é ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche, normalmente procuramos termos como:
Nesse caso, podemos rearrumar nossa função como
E aí ficamos com algo bem parecido com aquela nossa primeira opção.
Otimo, temos então que calcular dois limites e, para isso, precisamos limitar alguma coisa desses dois limites.
Vamos tentar isso aqui:
Porque eu to somando termos ao quadrado, independente de qual seja o coeficiente que está multiplicando eles. Beleza, continuando então
Opa, limitamos. E, se você reparar, para a segunda parte da nossa função, podemos seguir o mesmo raciocínio e chegaremos em
Isso significa que
É a soma de dois limites em que temos o limite de uma função que vai a zero multiplicado por uma função que é limitada. E isso, meus amigos, pelo teorema do anulamento, significa que nosso limite vale zero.
Ou sejeeeee, esse limite existe e a função é contínua.
Passo 7
ACABOU!
Chega de calcular limite, gloria Jesus!