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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Marcos André - 1ª Lista de Exercícios, Questão 4h

Verifique se a função é contínua. Caso contrário, redefina de maneira que f se estenda a uma função contínua quando possível.

h)

f x , y = ln ⁡ 3 x 2 - x 2 y 2 + 3 y 2 x 2 + y 2

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... queremos saber se a função dada é contínua.

Mas como podemos fazer isso?

Para isso, temos que fazer o limite da função em um possível ponto de descontinuidade, nesse caso, quando x , y → 0,0 .

Depois, basta manipular o limite para esse ponto!!

E aí? Bora lá??

Passo 2

Bom... fazendo o limite da função par ao ponto de possível descontinuidade, temos:

lim x , y → 0,0 ⁡ ln ⁡ 3 x 2 - x 2 y 2 + 3 y 2 x 2 + y 2

Onde fazemos x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ .

Assim, substituindo, temos:

lim r → 0 ⁡ 3 r 2 cos 2 ⁡ θ - r 4 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ + 3 r 2 sin 2 ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ

Passo 3

Agora, manipulando o limite, encontramos:

lim r → 0 ⁡ 3 r 2 cos 2 ⁡ θ - r 4 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ + 3 r 2 sin 2 ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ ∴

Sabendo que sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 , temos:

lim r → 0 ⁡ r 2 3 cos 2 ⁡ θ - r 2 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ + 3 sin 2 ⁡ θ r 2 ∴

lim r → 0 ⁡ 3 cos 2 ⁡ θ - r 2 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ + 3 sin 2 ⁡ θ ∴

lim r → 0 ⁡ 3 - r 2 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ = ln ⁡ 3

Dessa forma, para que f seja contínua, ela deve ser modificada para:

f x , y = ln ⁡ 3 ,   s e   x , y = 0,0 ln ⁡ 3 x 2 - x 2 y 2 + 3 y 2 x 2 + y 2 ,   s e   x , y ≠ 0,0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Para que f seja contínua, ela deve ser modificada para:

f x , y = ln ⁡ 3 ,   s e   x , y = 0,0 ln ⁡ 3 x 2 - x 2 y 2 + 3 y 2 x 2 + y 2 ,   s e   x , y ≠ 0,0

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Determine o maior conjunto no qual a função é contínua. F x , y = 1 + x 2 + y 2 1 - x 2 - y 2
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.30 – F x , y = x - y 1 + x 2 + y 2
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