UNICAMP, Cálculo 2, P1, 2018.1, questão 2b
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua:
Passo 1
Não esquente a cabeça! Esse problema é mais fácil do que parece... Vamos focar no que interessa: Como verificar se a função é contínua?
A primeira coisa é a gente observar que essa função é definida por partes. Então precisamos analisar a continuidade dela em cada uma dessas partes.
Bom, para a nossa função é simplesmente
E isso é o quociente entre duas funções clássicas, que são as funções polinomiais.
E, funções clássicas nós já sabemos que são contínuas em todo o seu domínio.
Show, porque o domínio dessa função é justamente
Então, para nossa função é contínua.
Resta apenas agora verificarmos se ela é contínua em .
Passo 2
A primeira parte dessa função não pode conter o ponto , certo? Então, se ela for contínua, o limite quando essa parte tender a deve ser 1, que é o valor que ela realmente tem para esse ponto (dado na parte de baixo da chave).
Agora que sabemos o que temos que fazer, vamos encontrar o limite da parte de cima da chave quando ela tende a
Como essa expressão tem uma indeterminação do tipo , é aí que mora o problema. Vamos resolvê-lo!
Passo 3
Observe que podemos reescrever esse limite da seguinte forma:
Ok, agora temos
Passo 4
A hora do Teorema do Sanduíche chegou!
Observe que podemos dizer que
E também
Certo? Esse segundo é porque uma coisa é sempre menor que o dobro dessa coisa. Ainda mais se o dobro dessa coisa tiver somado a mais uma coisa que sabemos que é sempre maior ou igual a zero.
Assim,
Passo 5
Agora estamos quase chegando na expressão da função. Podemos então dividir todo mundo por :
Opaaaaa, então a gente conseguiu limitar nossa função.
Passo 6
Só lembrando então, queríamos calcular o limite
E aí descobrimos que a função é uma função limitada.
Além disso, se a gente observar, temos que
Dessa forma, temos o limite de uma função que vai a zero, vezes uma função que é limitada.
Assim, pelo teorema do anulamento, podemos dizer que o limite
Passo 7
Opaaaa, mas pra função ser contínua, a gente viu no passo 2, que esse limite precisava valer 1.
Então, a função não é contínua para
Mas, como já tínhamos visto antes, a função é contínua para .
Assim, o maior conjunto no qual a função é contínua é o conjunto