UFPE, Cálculo 2, EE1, 2016.1, questão 1a
Resolva o que se pede:
- Determine tal que a função
Seja contínua e tenha como seu domínio. Sugestão: Utilize coordenadas polares
Passo 1
Como a função é definida por partes, vamos começar estudando a continuidade da função para . Perceba que a função é composta de outras funções contínuas, e que:
Logo, garantimos que a função é contínua em
Passo 2
Agora, vamos estudar a continuidade no ponto . Para a função ser contínua, devemos ter:
Devemos calcular esse limite. Vamos ter:
Tentando calcular o limite por substituição direta, chegamos a indeterminação:
Então, vamos buscar outra forma para calcular esse limite.
Passo 3
Seguindo a sugestão, vamos utilizar ascoordenadas polares:
Com . O limite vai ficar:
Ainda temos uma indeterminação do tipo:
Passo 4
Podemos usar L’Hospital para calcular esse limite:
Ajeitando:
Então:
Temos:
Resposta
a)