A função
é contínua?
Passo 1
Não esquente a cabeça! Esse problema é mais fácil do que parece... Vamos focar no que interessa: Como verificar se a função é contínua?
A parte bizarra dela (que tem a fração gigante) não pode conter o ponto , certo? Então, se ela for contínua, o limite quando essa parte tenter a deve ser 12, que é o valor que ela realmente tem para esse ponto (dado na parte de baixo da chave).
Passo 2
Agora que sabemos o que temos que fazer, vamos encontrar o limite da parte de cima da chave quando ela tende a
Podemos separar essse limite em dois, para facilitar:
Como a expressão da direita tem uma indeterminação do tipo , é aí que mora o problema. Vamos resolvê-lo!
Passo 3
Vamos trablahar em cima da nossa parte “problemática” ?
Observe bem, podemos reescrever da seguinte forma:
Ok, agora temos
Passo 4
A hora do Teorema do Sanduíche chegou!
Agora vamos pegar o termo do denominador da fração e trabalhar nele, até que vire a propria fração.
A missão é encontrar relações dentro da propria fração em forma de inequações, sendo que um dos extremos da inequação precisa ser o 0, e o termo do meio, “ensanduichado”, deve ser o que vai virar a fração da indeterminação. Veja, umas das possíveis relações é:
Passo 5
Como o lado direito da inequação é o que vai ser ensanduichado, e ele é o denominador da fração, vamos elevar tudo a -1 e colocar o 0 na inequação:
Passo 6
Perfeito! Está cada vez mais parecido com a fração inicial! Agora, vamos multiplicar tudo por ....
Passo 7
Pronto!! Agora já está quase identico ao que conseguimos no passo 3! Só falta multiplicar por !
multiplicando fica....
Passo 8
Agora que temos a fração que nos causava problema ensanduichada, podemos fazer o limite dos dois lados do sanduiche:
Em
Ora, se o limite do lado direito é 0, e o do lado esquerdo também, o limite da fração só pode ser 0!! Vamos voltar ao que tínhamos no passo 1?
Passo 9
Queremos, então, saber se
existe, e, se existe, qual o seu valor.
Como já resolvemos e sabemos que
Temos que verificar que o limite
Como , aí está nosso limite! Ele vale 12
Resposta
A função é contínua, pois seu limite quando , que é o valor que ela assume nesse ponto.