Considere a função

1. Mostre que e são funções contínuas em para cada valor de fixo
2. Mostre que , por sua vez, não é contínua em

Vamos fazer o que ele pede para , então

Para a função ser contínua devemos achar o limite dessa função em relação a . Se substituirmos o valor de vamos ter

Aqui temos duas situações, ou ou

Se

Se

Logo o limite dessa função é e vamos ter

E a função é continua.

Devemos agora analisar a função, primeiro vamos achar o limite e depois ver se a função é contínua. Se substituirmos o valor de e , vamos ter

Deu uma indeterminação do tipo

Agora deveríamos ver se podemos usar o teorema do sanduíche.

Não há nenhum daqueles termos multiplicados por alguma outra expressão:

Também não há nenhuma função trigonométrica.

E além disso, temos e somados com expoentes diferentes. Então suspeitamos que esse limite não existe.

Vamos substituir para igualar os expoentes dos denominadores e calcular o limite através desse caminho:

Então o limite depende do caminho, isso nos diz que ele não existe.