Determine os pontos em que a função abaixo é contínua:
Passo 1
Essa função é contínua em qualquer ponto do exceto , pois é uma combinação de funções contínuas.
Temos que verificar agora se o limite é igual ao valor da função em .
Ou seja:
Observação: essa é uma função de três variáveis, mas o procedimento é o mesmo que usamos para funções de duas variáveis.
Passo 2
Tentar substituir valores:
Chegamos a uma indeterminação .
Passo 3
Ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche:
Neste caso, temos algo análogo ao que já vimos em funções de duas variáveis. A grande jogada está em perceber o seguinte:
Entendeu? Agora temos dois termos limitados entre e , além do quadrado da função seno, que também está limitado nesse intervalo. Logo, o produto dessas funções limitadas também está limitada entre e .
Passo 4
Colocar a expressão entre extremos:
De modo análogo:
E, além disso, o seno de qualquer coisa ao quadrado só pode estar entre e :
Então o produto está entre e :
Passo 5
Multiplicar o que falta para que o termo central seja a função cujo limite queremos calcular:
Temos que multiplicar por :
Como , não precisamos nos preocupar com o sinal:
Passo 6
Tirar os limites:
Passo 7
Calcular os limites dos extremos:
Passo 8
Substituir na desigualdade:
Logo:
Passo 9
Portanto:
Logo, essa função é contínua em .
Logo, a função é contínua em todo o !
Resposta
A função é contínua em todo o .