Considere a função
a) Qual o domínio da função?
b) A função é contínua em todo ? Caso não seja, é possível estender tal função à uma função contínua em ? Justifique.
Passo 1
Letra a)
Para determinarmos o domínio dessa nossa função, vamos lembrar os principais problemas:
1. Denominador nulo
2. Raiz par de números negativos
3. Logaritmo de ou de números negativos
Bom, com isso, vemos que não temos nem logaritmo nem raízes, então só nos resta verificar quando que o denominador é nulo.
Para isso, temos que resolver
Mas todo número elevado a potências pares (nesse caso, e ) positivos ou nulos. Portanto, para essa soma ser exatamente temos que ter .
Assim, nosso domínio é
Passo 2
Letra b)
Para determinarmos a continuidade dessa função, vale lembrar que uma função só é contínua em uma região do plano se:
1. Existe em todo ponto da região
2. Existe em todo ponto da região
3. Os valores calculados nos itens acima são iguais em todo ponto
Portanto, como e não satisfaz a primeira condição, então não é contínua em todo o .
Passo 3
O outro comando da letra b é se posso estender essa função até uma que seja contínua no e justificar essa resposta.
Mas afinal, o que significa estender uma função?? Nesse caso, temos uma função que tem uma descontinuidade num único ponto , pois é quociente de polinômios e o único problema é o denominador nulo.
Assim, se existir, significa que temos uma descontinuidade ‘removível’ e que podemos definir um valor para de forma que ela seja contínua.
Ou seja, vamos concentrar nossos esforços em determinar se esse limite existe ou não.
Passo 4
Vamos então tentar calcular esse limite:
Para determinarmos a existência desse limite, vamos fazer uma mágica aqui:
Vamos pensar que , onde:
Olhando a função , vemos que sempre, pois o termo nunca é negativo. Logo, quando um denominador é maior ou igual que o numerador, o resultado é sempre um número entre 0 e 1, ou seja, e vemos que é uma função limitada.
Olhando agora a função , sabemos que é produto de polinômios então é contínua e, assim,
Então como temos sendo o produto de uma limitada com outra que tende a zero, temos:
Por fim, se definirmos então , nossa função passa a ser contínua em todo o
Então podemos estender nossa função para ser contínua sempre!
Resposta
Sim, pois o limite em existe.