Seja f x ,   y = x 2 + y 2 2 sin ⁡ 1 x 2 + y 2 ,     s e   x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) 0 ,     s e   x ,   y = ( 0 ,   0 ) .

c) ∂ 2 f ∂ x ∂ y é contínua em ( 0 ,   0 ) ?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se a derivada parcial de segunda ordem, ∂ 2 f ∂ x ∂ y , da função f x ,   y é contínua em ( 0 ,   0 ) .

Como a função é definida por partes, a gente já viu que para x ,   y = ( 0 ,   0 ) , temos f x ,   y = 0 . Então, vamos calcular a derivada parcial para f x ,   y = x 2 + y 2 2 sin ⁡ 1 x 2 + y 2 e verificar se ela é contínua no ponto dado.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando f x ,   y = x 2 + y 2 2 sin ⁡ 1 x 2 + y 2 em relação a y , usando a regra do produto:

∂ ∂ y x 2 + y 2 2 sin ⁡ 1 x 2 + y 2

∂ ∂ y = 4 y x 2 + y 2 sin ⁡ 1 x 2 + y 2 - 2 y cos ⁡ 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 x 2 + y 2 2

Simplificando, temos:

∂ ∂ y = 4 y sin ⁡ 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 - 2 y cos ⁡ 1 x 2 + y 2

Derivando esse resultado em relação a x , temos:

∂ 2 f ∂ x ∂ y x ,   y = ∂ ∂ x 4 y sin ⁡ 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 - 2 y cos ⁡ 1 x 2 + y 2

∂ 2 f ∂ x ∂ y x ,   y = 4 y - 2 x cos ⁡ 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 2 x sin ⁡ 1 x 2 + y 2 - 4 x y sin ⁡ 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

Aplicando novamente a propriedade distribuitiva, vai ficar:

∂ 2 f ∂ x ∂ y x ,   y = - 8 x y cos ⁡ 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 8 x y sin ⁡ 1 x 2 + y 2 - 4 x y sin ⁡ 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

Repare que para x ,   y = ( 0 ,   0 ) , teremos zero no denominador das frações, o que não pode acontecer, porque gera uma indeterminação. Sendo assim, podemos dizer que ∂ 2 f ∂ x ∂ y não é contínua em ( 0 ,   0 ) .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

N ã o   é   c o n t í n u a   e m   ( 0 ,   0 )

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