USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 21d
Verifique se cada uma das leis abaixo define uma função contínua em todo :
(d)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente verificar se a função definida por partes é contínua no plano .
Pra fazer essa verificação, vamos olhar para a parte “problemática” da função. Repare que ela tem uma lei de formação em e outra para . Então, se ela for contínua, o valor que a função assume nesse ponto, precisa ser igual ao valor do limite da função no ponto.
Nós já sabemos que para , temos . Então, vamos apenas verificar se o limite nesse ponto existe e se tem o mesmo valor.
Assim, se esse limite for igual a zero, nós podemos dizer que a função é contínua no ponto e, portanto, contínua em todo seu domínio.
Vamos lá!
Passo 2
Nosso limite é dado por:
Ter uma potência no numerador menor ou igual a potência no denominador, já nos dá um indício de que esse limite pode não existir. Para verificar isso, vamos tentar calcular o limite por dois caminhos diferentes, ao longo de e ao longo de . Se o valor do limite for o mesmo para todos os caminhos, podemos dizer que o limite existe.
Vamos começar calculando ao longo de :
Agora para , vamos ter:
Simplificando:
E aplicando o limite:
Como o limite possui valores iguais para caminhos diferentes, podemos dizer que o limite existe, é igual a e, portanto, a função é contínua em todo .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉