UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - Profº Pedro Hinojosa - Lista de Exercícios 5, Questão 3b
Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto indicado.
b)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente verificar se a função é contínua no ponto . Nossa função é definida por partes e temos uma lei de formação para quando e uma para quando . No ponto , temos .
Uma função é contínua em um ponto quando o valor da função aplicada no ponto é igual ao limite dela naquele ponto, ou seja:
Então, vamos calcular o valor da função no ponto dado e verificar se o valor do limite é o mesmo.
Vamos lá!
Passo 2
Nós já temos , então vamos calcular o limite nesse ponto:
Mas primeiro vamos verificar se esse limite existe. Sabendo que um limite só existe quando não depende do caminho, vamos escolher um caminho genérico fazendo , de modo que variando variamos o caminho, para verificar essa dependência. Substituindo, temos:
Elevando ao quadrado:
Colocando em evidência:
Simplificando:
Como o limite depende de , ele depende do caminho, então podemos dizer que o limite não existe. E já que o limite nesse ponto não existe, a função é descontínua no ponto.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉