UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 2. Questão 5c.
5- Encontre o valor de a para que a função dada seja contínua em :
c)
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Essa questão é muito bacana! 🤩 foi dada uma função que quando é regida por uma função descrita por uma função que vamos chamar de . Já quando é regida por outra função que vamos chamar de . Ou seja
Onde
e
Quando , gera uma indeterminação, já que calculando temos
Dessa forma, temos que arrumar uma forma de tampar esse buraco em .
Pra isso entra em ação 🐱👤
vai ser continua se as vizinhanças de tender a , ou seja, o limite de deve tender a .
Entendeu? Bora para os cálculos!
Passo 2
De forma geral, temos que calcular
Primeiro, vamos calcular o limite de
Nesse caso, podemos calcular o limite usando o método das curvas. Este método consiste em substituir os valores de ou por retas que passam pelo ponto , por exemplo
Pela reta , vamos substituir por no limite.
Podemos cortar do numerador e do denominador
Substituindo por
Calculando o limite pela reta , substituímos por
Podemos cortar do numerador e do denominador
Substituindo por
Aproximando pela reta e fazendo os mesmos procedimentos, temos
Cortando do numerador e do denominador, temos
Substituindo por
Passo 3
Calculamos o limite de por várias curvas que passam por e todos os resultados foram iguais a , logo podemos afirmar que
Continuando pela busca do valor de , dizemos que
Se , então
Por Bhaskara, podemos encontras os valores de
Através do método de Bhaskara encontramos dois possíveis valores para , e .
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
