Calculo 2 – UFPE – 1° EE
Determine o valor da constante A de modo que a função real
Seja contínua na origem.
Passo 1
Para uma função ser contínua, o seu limite deve existir neste ponto e o valor deste limite deve ser igual ao valor da função no ponto. Portanto, se queremos checar se a função é contínua na origem, queremos checar se:
Portanto, queremos descobrir se o limite existe e, caso ele exista, qual o seu valor.
Como a questão não nos restringe no uso de coordenadas polares, vamos fazer uso deste sistema para calcular o limite.
Lembrando que , temos:
Passo 2
Agora, vamos substituir o valor de no limite. Sendo assim, temos:
E temos uma indeterminação. Vamos utilizar a regra de L’Hôspital (deriva o numerador e o denominador), temos:
Substituindo o valor de novamente, temos:
Novamente temos uma indeterminação. Aplicando a regra de L’Hôspital novamente, temos:
Portanto, o valor do limite da nossa função é .
Se queremos que a função seja contínua na origem, o valor de deve ser igual a !