UFRJ, Cálculo 2, PF 2016.1, questão 3
Seja
Então, verifique a sua continuidade:
é descontínua em todos os pontos de
é contínua em
é descontínua em todos os pontos da parábola
é contínua em todos os pontos de
é contínua somente na origem
Passo 1
Temos que calcular o limite da função dada tendendo ao ponto :
Fazemos:
Dividimos tudo por :
Passo 2
Vamos multiplicar tudo por .Dividimos em 2 casos:
- Caso 1:
- Caso 2:
Então, calculando limite:
Logo, pelo teorema do sanduíche:
Passo 3
Então, calculando limite:
Logo, pelo teorema do sanduíche:
Passo 3
Portanto,pelo teorema do Sanduíche:
E isso é justamente nossa função , para . Logo:
Passo 4
Agora temos que comparar com o valor da função no ponto . Esse valor é dado quando :
Logo:
Pronto! Então essa função é contínua nesse ponto.
Note que, em todos os outros pontos, o limite será sempre igual ao valor da função nesses pontos, pois é a simples substituição de valores.
Como se trata de um quociente de funções contínuas, então a função é contínua nesses pontos .
Poratanto, a função é contínua em todos os pontos do
Resposta
Letra