Considere a série de funções trigonométricas ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 cos ⁡ n π x + sin ⁡ n π x .

  1. Analise a convergência pontual e uniforme da mesma;
  2. Denotando a soma da série por g ( x ) , prove que g é contínua em [0,1];
  3. Determine o valor dos coeficientes a n na identidade ∫ 0 1 g ( x ) d x = 1 π ∑ n = 1 ∞ a n , justificando os cálculos.

Passo 1

Boníssimo papiro! Segundo teoremas, a convergência uniforme de uma série ∑ f n x para uma função g garante a continuidade de g desde que f n sejam contínuas. Assim, observe que como calculado no item (a):

f n x = 2 n 2 sin ⁡ π 4 + n π x

A qual é contínua em x ∈ [ 0,1 ] , pela continuidade do seno. Logo, a convergência uniforme de sua série implica que g é contínua.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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