UFCG-Cálculo 3-AV1-2022.1
Sejam e um vetor unitário
- Mostre que é continua a pesar de não ser diferenciável.
Passo 1
Opa amigão, sou o Rodolpho do Responde Aí. Tá tudo joinha por aí?
Bem, hoje vamos resolver uma questãozinha de função de várias variáveis. Para ser mais preciso, a gente vai utilizar conceitos de limites e continuidades.
Esse tipo de questão é muito comum de cair em prova de cálculo. Para resolvê-la vamos precisar apenas de uma única formulinha que vamos ver jaja.
Aqui não tem muita teoria não, na realidade precisamos apenas de dois conceitos de função de várias variáveis. A primeira é a fórmula da continuidade que é essa aqui:
A outra é que precisamos criar uma forma mirabolante de resolver o limite. KKKKKKKK
Mas e aí podemos ir? Colocando a mão na massa as coisas ficam mais concretas.
Sacou né? Então já podemos colocar a mão na massa.
Passo 2
Para resolver nossa alternativa vamos precisar calcular o seguinte limite:
E para resolvê-lo vamos realizar a seguinte mudança de variáveis:
Sendo assim, nosso limite pode sair de duas variáveis para apenas uma, porque ele vai ficar assim:
Lembrando da seguinte identidade trigonométrica:
Nosso limite vai ficar assim:
Como temos que as funções trigonométricas são limitadas e estão sendo multiplicadas pela função raio que está indo para zero. Isso leva todo nosso limite para zero.
Portanto:
Logo temos que:
Resposta
A função é contínua como mostrado nos passos anteriores.