Sejam f(x) = { x * y^2 / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0,0), se (x, y) = (0,0) } e u = (a, b) um vetor unitário a^2 + b^2 = 1

  1. Mostre que f é continua a pesar de não ser diferenciável.

Passo 1

Opa amigão, sou o Rodolpho do Responde Aí. Tá tudo joinha por aí?

Bem, hoje vamos resolver uma questãozinha de função de várias variáveis. Para ser mais preciso, a gente vai utilizar conceitos de limites e continuidades.

Esse tipo de questão é muito comum de cair em prova de cálculo. Para resolvê-la vamos precisar apenas de uma única formulinha que vamos ver jaja.

Aqui não tem muita teoria não, na realidade precisamos apenas de dois conceitos de função de várias variáveis. A primeira é a fórmula da continuidade que é essa aqui:

f ( x , y )   = f ( x 0 , y 0 )

A outra é que precisamos criar uma forma mirabolante de resolver o limite. KKKKKKKK

Mas e aí podemos ir? Colocando a mão na massa as coisas ficam mais concretas.

Sacou né? Então já podemos colocar a mão na massa.

Passo 2

Para resolver nossa alternativa vamos precisar calcular o seguinte limite:

f ( x , y )   = x y 2 x 2 + y 2    

E para resolvê-lo vamos realizar a seguinte mudança de variáveis:

x = r c o s t

y = r s e n ( t )

Sendo assim, nosso limite pode sair de duas variáveis para apenas uma, porque ele vai ficar assim:

x y 2 x 2 + y 2     = r c o s t r 2 ( t )   r 2 t   + r 2 t    

Lembrando da seguinte identidade trigonométrica:

r 2 t   + r 2 t   = r 2

Nosso limite vai ficar assim:

r c o s t r 2 ( t )   r 2 t   + r 2 t     = r 3 c o s t ( t )   r 2   = C

Como temos que as funções trigonométricas são limitadas e estão sendo multiplicadas pela função raio que está indo para zero. Isso leva todo nosso limite para zero.

Portanto:

r 3 c o s t ( t )   r 2   = 0

Logo temos que:

f ( x , y )   = x y 2 x 2 + y 2     = 0 = f ( 0,0 )

Resposta

A função é contínua como mostrado nos passos anteriores.

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