Seja f x , y = x 3 x 2 + y 2 ,   s e   x , y ≠ 0 0 ,   s e   x , y = 0

  1. Mostre que   f é contínua em ( 0,0 ) ?

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa função

f x , y = x 3 x 2 + y 2 ,   s e   x , y ≠ 0 0 ,   s e   x , y = 0

E perguntou se ela é contínua

Para que ela seja contínua o limite onde ela ‘quebra’ precisa valer o mesmo valor! Isso significa que

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 x 2 + y 2

Precisa ser zero!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar olhando com carinho nosso limite

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 x 2 + y 2

0 / 0 , que é uma indeterminação, então precisamos de outra estratégia.

Temos uma relação entre as variáveis, então podemos usar a técnica de múltiplos caminhos! Dizendo que

x = m y

Onde m é um número real qualquer. Temos que quando y → 0 ,   x → 0 também. Podemos trocar nosso limite pra y apenas

lim y → 0 ⁡ m 3 y 3 m 2 y 2 + y 2 = m 3 m 2 + 1 lim y → 0 ⁡ y 3 y 2 =

Podemos simplificar y 2

= m 3 m 2 + 1 lim y → 0 ⁡ y ⏝ = 0 = 0

Oba! Independente do caminho, temos que o limite vai à zero! Isso significa que a função é contínua!

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

s i m

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