UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 2. Questão 11.
11 - Seja
Mostre que é contínua em .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Esse tipo de questão é muito comum em listas e avaliações, então é muito importante compreender bem os conceitos que temos que usar.
Foi dada uma função que quando , ela tem um comportamento, já quando , ela em um comportamento diferente.
Nosso objetivo, é mostrar que em contínua no ponto . Mas como podemos fazer isso?? 🤔
A ideia principal é provar que o limite de no ponto é igual a , que é o valor que a função assume nesse ponto. Ou seja, quando nos aproximamos do ponto em qualquer direção, a função tem que tender a .
De forma matemática, o que devemos provar é
Já que já temos uma noção do que precisamos fazer, vamos para os cálculos!
Passo 2
Como podemos calcular o limite?
Nesse caso, existem duas formas mais evidentes e efetivas, a primeira é sairmos de coordenadas cartesianas e partirmos para as coordenadas polares. A segunda é fazermos aproximações por meio de curvas que passam pelo ponto , substituindo ou no nosso limite pela curva que usamos.
Vamos usar a segunda opção, veja só. A primeira curva que podemos nos aproximar, é pela reta , substituindo por no limite, temos
Não podemos substituir por ainda, pois não nos livramos da indeterminação que temos, então para contornar isso, vamos usar L’Hopital, derivando em cima e embaixo.
Pela regra da cadeia e por derivação de polinômios, as derivadas vão ser
Substituindo os resultados no limite
Podemos cortar do numerador e do denominador, resultando em
Agora sim substituindo por , temos
Passo 3
Aproximando pela curva e fazendo os mesmos procedimentos, temos
Não podemos substituir por ainda, pois não nos livramos da indeterminação que temos, então para contornar isso, vamos usar L’Hopital, derivando em cima e embaixo.
Pela regra da cadeia e por derivação de polinômios, as derivadas vão ser
Substituindo os resultados no limite
Podemos cortar do numerador e do denominador, resultando em
Agora sim substituindo por , temos
Passo 4
Observe que temos um script aqui
Considerando uma função qualquer , vamos calcular este limite.
1°- aplicamos L’Hopital
2°- aplicando a regra da cadeia e derivação de polinômios
3°- substituindo os resultados no limite
4°- cortando do numerador e denominador
5°- substituindo por
Pelo fato de o que está dentro de ser igual ao denominador de , o limite de sempre resultará em no ponto .
Isso prova que a função é contínua em .
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
