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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 2. Questão 5b.

5- Encontre o valor de a para que a função dada seja contínua em 0,0 :

b) f x , y = x 2 y 2 y 2 + 1 - 1   s e   x , y ≠ 0,0 a - 4   s e   x , y = 0,0

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Essa questão é um amor! 😍 foi dada uma função f x , y que quando x , y ≠ 0,0 é regida por uma função descrita por uma função que vamos chamar de g x , y . Já quando x , y = 0,0 f é regida por outra função que vamos chamar de h x , y . Ou seja

f x , y = g x , y   s e   x , y ≠ 0,0 h x , y   s e   x , y = 0,0

Onde

g x , y = x 2 y 2 y 2 + 1 - 1 e h x , y = a - 4

Quando x , y = 0,0 , g x , y gera uma indeterminação, já que calculando g 0 , 0 temos

g 0,0 = 0 2 0 2 0 2 + 1 - 1

g 0,0 = 0 1 - 1

g 0,0 = 0 0

Dessa forma, temos que arrumar uma forma de tampar esse buraco em 0,0 .

Pra isso h x , y entra em ação 🐱‍👤

f vai ser continua se as vizinhanças de h x , y tender a h x , y , ou seja, o limite de g x , y deve tender a h x , y .

Entendeu? Bora para os cálculos!

Passo 2

De forma geral, temos que calcular

lim x , y → 0,0 ⁡ g x , y = h x , y

Primeiro vamos calcular lim x , y → 0,0 ⁡ g x , y

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y 2 y 2 + 1 - 1

Temos que manipular a fração de alguma forma que mostre que o limite exista. Uma forma muito bacana quanto temos dois termos no denominador, é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

Nosso denominador é y 2 + 1 - 1 , seu conjugado será y 2 + 1 + 1 , apenas trocamos o sinal do segundo termo.

x 2 y 2 y 2 + 1 - 1 · y 2 + 1 + 1 y 2 + 1 + 1

Fazendo a distributiva do denominador, temos

x 2 y 2 y 2 + 1 + 1 y 2 + 1 2 - 1 2

Cortando a raiz com a potência

x 2 y 2 y 2 + 1 + 1 y 2 + 1 - 1

Cortando o y ² do numerador e do denominador e resolvendo + 1 - 1 = 0

x 2 y 2 + 1 + 1

Com isso, podemos calcular o limite como

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y 2 + 1 + 1

Substituindo o valor de x e y , obtemos facilmente o limite como

0 2 0 2 + 1 + 1 = 0

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y 2 + 1 + 1 = lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y 2 y 2 + 1 - 1 = 0

Passo 3

Como dizemos antes lim x , y → 0,0 ⁡ g x , y = h x , y e encontramos lim x , y → 0,0 ⁡ g x , y = 0 .

Ou seja, h x , y deve ser igual a 0 .

h x , y = 0

a - 4 = 0

a = 4

Enfim, encontramos o valor de a que faz com que f x , y seja continua em todo x , y . No caso a deve ser igual a 4 !

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

a = 4

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