Defina de maneira a estender
a uma função contínua na origem.
Passo 1
Podemos verificar que, substituindo e na função, temos uma divisão por zero. Portanto, não é continua na origem.
Basicamente, o que ele quer é que a gente encontre o limite
Assim, definindo
a função passa a ser contínua na origem. Show? Então mão na massa!
Passo 2
Agora temos que resolver esse limite, mas substituindo na função, cairemos em uma indeterminação. Deste modo, vamos usar mexer um pouco nessa equação para usar o teorema do anulamento! Vamos lá!
Repara que no denominador um termo que aparece bastante, que é . Então vamos tentar fazer isso aqui e ver no que dá:
No numerador temos , então vamos subtrair na inequação:
Agora, dividimos tudo por (não precisa inverter os sinais porque ):
Pronto! Agora vamos analisar os extremos dessa sequência!
Passo 3
Temos que tentar limitar isso, e parecemos estar no bom caminho! Podemos mostrar tranquilamente que o termo da direita é limitado. Como já vimos:
Dividindo tudo por :
Ótimo! Então, voltando pra nossa inequação:
Passo 4
Agora vamos ver esse termo da esquerda. Vamos fazer algo bem parecido:
Multiplicando por (tem que trocar os sinais):
Logo:
Ótimo, agora quase acabou!
Passo 5
Lembrando que
Temos
E como acabamos de ver, a expressão é limitada.
Então, pelo teorema do anulamento:
Passo 6
Conclusão: vimos que o limite de na origem é . Portanto, definindo , a função passa a ser contínua na origem.