USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 21g
Verifique se cada uma das leis abaixo define uma função contínua em todo :
(g)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente verificar se a função definida por partes é contínua no plano .
Pra fazer essa verificação, vamos olhar para a parte “problemática” da função. Repare que ela tem uma lei de formação em e outra para . Então, se ela for contínua, o valor que a função assume nesse ponto, precisa ser igual ao valor do limite da função no ponto.
Nós já sabemos que para , temos . Então, vamos apenas verificar se o limite nesse ponto existe e se tem o mesmo valor.
Assim, se esse limite for igual a zero, nós podemos dizer que a função é contínua no ponto e, portanto, contínua em todo seu domínio.
Vamos lá!
Passo 2
Nosso limite é dado por:
Pra sair da interminação, vamos começar reescrevendo a função do limite da seguinte maneira:
Agora vamos tentar aplicar o teorema do confronto pra descobrir o valor desse limite. Vamos tentar limitar a expressão:
Como o numerador é um termo ao quadrado, ele vai ser sempre maior ou igual a zero. Além disso, repare que temos o mesmo termo expandido no denominador, só que somado a . Então, o termo de cima vai ser sempre menor que o de baixo e teremos:
Agora podemos dividir todo mundo por :
Tá, mas essa não é nossa expressão né? Tá faltando uma coisinha aí, que é multiplicar por . Fazendo isso, temos:
E aplicando o limite em todos os termos:
Agora repare que, pelo Teorema do confronto, se os limites das funções nos extremos existirem e forem iguais, o limite da função do meio também vai ser existir e terá o mesmo valor.
Passo 3
Calculando o limite da esquerda, temos:
E para o limite mais externo da direita, temos:
Como os limites dos extremos é zero, pelo teorema do confronto, o limite da função do meio também é zero:
Portanto, nossa função é contínua no ponto e contínua em todo .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉