UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 2. Questão 8.
8 - É possível definir a função no ponto de tal modo que ela seja contínua? Justifique!
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Essa questão é muito legal! Temos uma função dada como
Temos que encontrar um valor que faça ser contínua no ponto . Sabemos que do jeito que temos aqui, não é contínua nesse ponto, já que
Temos uma indeterminação nesse ponto.
Mas o que devemos fazer então?? 🤔🤔
Bem, o que fazemos é acrescentar um valor a que faça ela ter outra cara neste ponto, desse jeito
Temos que acrescentar um valor que “tampe o buraco” feito pela indeterminação no ponto .
Com isso a função se torna contínua em todo domínio . Depois de analisar o que devemos fazer, bora para os cálculos!
Passo 2
Como vamos encontrar este valor para tampar o buraco de ?para encontrar o valor de , vamos aplicar o limite em e descobrir para qual valor a função tende quando nos aproximamos do ponto . De forma mais matemática, o que vamos calcular é
O primeiro passo então, é calcular . Para isso, podemos nos aproximar do ponto por meio de curvas em .
Mas essas curvas não podem ser aleatórias, elas devem passar pelo ponto que estamos estudando. Por exemplo:
Aproximando pela curva , substituindo por
Aplicando L’Hopital, derivando o numerador e o denominador, temos
Pela regra da cadeia e por derivação de polinômios
Substituindo os resultados no limite novamente, temos
Substituindo por , encontramos
Passo 3
Quanto mais curvas fizermos, mais embasamento nossa resposta terá, então aproximando pela curva
Aplicando L’Hopital
Derivando pela regra da cadeia e por derivação de polinômios, temos
Substituindo os resultados no limite
Podemos cortar do numerador e do denominador e substituir por , resultando em
Passo 4
Observe que temos um script aqui
Considerando uma função qualquer , vamos calcular este limite.
1°- aplicamos L’Hopital
2°- aplicando a regra da cadeia e derivação de polinômios
3°- substituindo os resultados no limite
4°- cortando do numerador e denominador
5°- substituindo por
Pelo fato de o que está dentro de ser igual ao denominador de , o limite de sempre resultará em no ponto .
Passo 5
Com isso, encontramos o limite
Lembre-se que no início tínhamos que tampar um buraco de feito por uma descontinuidade no ponto e determinamos
Ora, se o limite que calculamos tende a , logo .
Com isso, a função terá uma cara diferente
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
