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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 2 - Várias Variáveis, Limites e Continuidade, Questão 2.4

2.4 – Seja

f x , y = x 4 x 4 + y 2 sin ⁡ e - 1 x 2 + y 2 ,   s e   x , y ≠ 0,0 L ,   s e   x , y = 0,0

Existe algum número real L para o qual f seja contínua em 0,0 ? Justifique

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos uma função f x , y definida por partes e nosso objetivo é verificar para qual valor de L a função se torna contínua.

Parece de boa? 😁

A função f é igual a L quando x , y = 0,0 e x 4 x 4 + y 2 sin ⁡ e - 1 x 2 + y 2 quando x , y ≠ 0,0 .

Com isso, para a função f ser continua, a parte que é diferente de 0,0 tem que tender a L quando se aproxima de 0,0 .

Assim, se descobrirmos para qual valor a função f tende nesse ponto, podemos definir como o valor de L .

Sacou? Bora lá! 😉

Passo 2

Pra isso, vamos calcular o limite de f tendendo a 0,0

lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 x 4 + y 2 sin ⁡ e - 1 x 2 + y 2

Vamos usar o método de aproximação por curvas começando pela reta x = 0

lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 x 4 + y 2 sin ⁡ e - 1 x 2 + y 2 → lim 0 , y → 0,0 ⁡ 0 4 0 4 + y 2 sin ⁡ e - 1 0 2 + y 2

lim y → 0 ⁡ 0 y 2 sin ⁡ e - 1 y 2

lim y → 0 ⁡ 0 = 0

Agora pela curva y = x 2

lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 x 4 + y 2 sin ⁡ e - 1 x 2 + y 2 → lim x , x 2 → 0,0 ⁡ x 4 x 4 + x 2 2 sin ⁡ e - 1 x 2 + x 2 2

lim x → 0 ⁡ x 4 x 4 + x 4 sin ⁡ e - 1 x 2 + x 4

lim x → 0 ⁡ x 4 2 x 4 sin ⁡ e - 1 x 2 + x 4

lim x → 0 ⁡ 1 2 sin ⁡ e - 1 x 2 + x 4

Como e - 1 0 tende a e - ∞ e e - ∞ = 0 temos

lim x → 0 ⁡ 1 2 sin ⁡ e - 1 x 2 + x 4 = 1 2 sin ⁡ 0

lim x → 0 ⁡ 1 2 sin ⁡ e - 1 x 2 + x 4 = 0

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Por último vamos nos aproximar pela reta y = 0

lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 x 4 + y 2 sin ⁡ e - 1 x 2 + y 2 → lim x , 0 → 0,0 ⁡ x 4 x 4 + 0 2 sin ⁡ e - 1 x 2 + 0 2

lim x → 0 ⁡ x 4 x 4 sin ⁡ e - 1 x 2

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ e - 1 x 2

Aplicando o limite

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ e - 1 x 2 = sin ⁡ e - 1 0 = sin ⁡ e - ∞

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ e - 1 x 2 = sin ⁡ 0

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ e - 1 x 2 = 0

Como todas as aproximações resultaram no mesmo resultado, então podemos dizer que f tende a 0 quando x , y → 0,0 .

Portanto o valor que podemos aplicar a L é 0 para que a função seja contínua.

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

L = 0

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