UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 2. Questão 4f.
4- Esboce o maior conjunto no qual a função é contínua:
f)
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
A questão nos deu uma função dada por
Com base nela, temos que descobrir se ela é continua em todo domínio de ou se existe alguns valores que fazem ser indefinida.
Beleza, mas como fazemos isso?? 🤔
Determinar o maior conjunto em que a função é contínua é muito parecido com determinar o domínio da função.
No caso, temos que encontrar os valores que substituímos fazem a questão ser indefinida ou descontínua.
Quando encontrarmos um conjunto de valores que fazem ser descontínua, temos que exclui-la da resposta.
Bora lá!
Passo 2
Primeiro, a nossa função tem duas caras:
E
Primeiro vamos analisar se é contínua em .
Se substituirmos em , vamos encontrar uma indeterminação.
Então temos que encontrar outros métodos para saber para qual valor tende quando tente a .
Pra isso, vamos calcular o limite de quando
Nestes casos de limites de funções tridimensionais, podemos calcular o limite por meio de equações que passam pelo ponto que queremos estudar, no caso o ponto e substituindo a equação na função.
Passo 3
Substituindo algumas retas em , temos.
Para a reta
Para a reta
Para a reta
Aplicando o método de L’Hopital, derivando em cima e em baixo, temos
Ainda não podemos substituir, então aplicamos a regra de L’Hopital novamente mais 3 vezes
Para todos os limites que calculamos, encontramos como o valor de quando tende a .
Passo 4
Comparando o valor de tendencia de com o valor efetivo de , vemos que no ponto a função tende a , mas a função assume valor .
Logo, há uma descontinuidade neste ponto.
Voltando à função
Sabemos que em uma função, quando seu denominador vai a , a função diverge. Ou seja tem que ser diferente de .
Mas perai, quais valores atribuídos a , vai ser igual a ?
e estão elevados ao quadrado, ou seja, nenhum dos dois podem resultar em números negativos, ou seja, o único jeito de dar zero, é se for .
Foi o que encontramos anteriormente, então o conjunto de valores que fazem a função ser contínua são todos os valores de , exceto .
A forma mais didática de se escrever a resposta é:
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
