UFF – Cálculo IIB – VS – Questão 1c
Seja dada por
- é contínua em ? justifique
Passo 1
Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu essa função com duas variáveis
E perguntou se a derivada parcial em relação à no ponto é contínua
Como saber disso?
Para começar, precisamos resgatar qual é a expressão da derivada parcial :
Para ser contínua, o limite da função derivada deve ser ter o mesmo valor e em . Então precisamos calcular o limite por caminhos quando ! Se independer do caminho e o resultado for zero, a derivada será contínua!
Tranquilo?
Partiu começar?
Passo 2
Quando ao longo do eixo , isto é, com temos
Tudo bem até aqui?
Agora vamos analisar esse limite por outro caminho! Por exemplo, pelo eixo , ou seja, com
Vamos separar em dois limites:
O primeiro limite é um produto de uma função limitada (seno) por uma função que vai à zero, então essa parte do limite é zero. Vamos ao segundo limite:
Agora o segundo temos o produto de uma função limitada (cosseno) por uma função que explode para infinito, então nesse caso o limite não existe
Belezinha?
Os limites por caminhos diferentes deram resultados diferentes. Concluímos que não é contínua
Até a próxima!