USP – Cálculo 2 – 2019 – P1 – Exercício 14
Considere a função definida por
Então
a) não é contínua no ponto .
b) a curva de nível contem o ponto .
c) existe o limite , mas não é contínua nesse ponto.
d) é contínua no ponto .
e) é contínua no ponto .
Passo 1
Eai pessoal, prontos para uma questão?
Repare que o enunciado forneceu uma função de duas variáveis:
Ele faz várias considerações sobre essa função e quer saber qual é a correta. Como as afirmativas falam sobre limites e continuidade nos pontos , e , temos que calcular os limites:
Vamos olhar primeiro para . Temos que escolher um caminho que passe pelo ponto . Vamos escolher uma caminho com : com . Note que nessa situação, :
Assim, por esse caminho:
Vamos escolher agora um outro caminho que passe por , como . Chamando , temos que . Assim, a curva é dada por . Vamos fazer , de modo que . Assim,
Esse limite explode para . Assim, vemos que os limites por caminhos diferentes são diferentes. Portanto, concluímos que esse limite não existe!
Passo 2
Vamos olhar agora para o limite . O caminho mais simples que passa por esse ponto é fixando com (mas ). Nessa caso, para parametrizar a curvam fazemos e , obtendo a curva . Assim,
Assim,
Como o limite por um caminho já explodiu, podemos garantir que ele não existe!
Passo 3
Já para , consideramos . Escolhi essa curva pois ela passa pelo ponto . Fazendo (de modo que ):
Assim,
Como o limite explode por esse caminho, já sabemos que ele não existe!
Olha que curioso, nenhum dos limites considerados existem...
Passo 4
Vamos analisar cada afirmativa:
Alternativa A: não é contínua em . Vimos que o limite não existe, isto é,
O limite existir é uma condição necessária para que a função seja contínua no ponto. Portanto, podemos afirmar que não é continua em . A afirmativa está correta!
Alternativa B: a curva de nível contem o ponto . Para que esse ponto esteja na curva de nível , deveríamos ter . Mas note que sempre que , temos que a função vale zero:
Assim, essa afirmativa é falsa!
Alternativa C: afirma que o limite existe, o que provamos ser falso!
Alternativa D: se o limite quando não existe, a função não pode ser contínua!
Alternativa E: mesmo caso da afirmativa D, o limite não existe e a função não é contínua nesse ponto!
Pode ir firme na alternativa A pois só ela é correta!
Resposta
Alternativa A.