Discuta a continuidade da função abaixo:
Passo 1
Essa função é contínua em qualquer ponto do , porém devemos verificar agora se o limite é igual ao valor da função em .
Ou seja:
Passo 2
Tentar substituir valores:
Chegamos a uma indeterminação .
Passo 3
Ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche:
Observe que
Então suspeitamos que o limite existe e vamos aplicar o Teorema do Sanduíche.
Passo 4
Colocar a expressão entre extremos:
Se :
Dividindo por :
Se :
Dividindo por :
Juntando as duas desigualdades:
Passo 5
Multiplicar o que falta para que o termo central seja a função cujo limite queremos calcular:
Temos que multiplicar por :
Se :
Se , temos exatamente a mesma coisa, pois os extremos são iguais!
Passo 6
Tirar os limites:
Passo 7
Calcular os limites dos extremos:
Passo 8
Substituir na desigualdade:
Logo:
Portanto
Então, a função é contínua em .
Resposta
Função é contínua em todo o .