USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 35
Mostre que satisfaz a chamada Equação de Laplace .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente mostrar que a função satisfaz a Equação de Laplace. Isso quer dizer que somando a segunda derivada parcial em relação a com a segunda derivada parcial em relação de , da função , vamos ter zero como resultado.
Então, vamos calcular essas derivadas parciais e verificar se o resultado da soma delas é nulo.
Vamos lá!
Passo 2
Nossa função é dada por:
Derivando ela parcialmente, primeiro em relação a , vamos ter:
Usando a regra do produto em cada termo:
Repare que quando derivamos e em relação a , o resultado é zero, porque é como se fosse uma constante aqui. Simplificando:
Da mesma forma, derivando mais uma vez em relação a , vamos ter a segunda derivada parcial:
Passo 3
Agora vamos derivar nossa função , parcialmente, em relação a :
Usando a regra do produto em cada termo:
Repare que agora é como se fosse uma constante na derivação. E simplificando, temos:
Da mesma forma, derivando mais uma vez em relação a , vamos ter:
Passo 4
Somando os resultados dos passos e , temos:
E simplificando os termos semelhantes:
Portanto, a função satisfaz a Equação de Laplace, como queríamos demonstrar.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉