3. Calcule cada um dos limites abaixo (se existirem):

b. lim x → ∞ ⁡ x e - x

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bom? Aqui temos esse limite para resolver,

lim x → ∞ ⁡ x e - x

A primeira coisa que a gente faz sempre é substituir o x pelo valor que ele está tendendo. Fica assim,

lim x → ∞ ⁡ x e - x = 0 ∞

Opaaa! Caímos em uma indeterminação do tipo 0 ∞ e uma forma de determinarmos esse limite é aplicando a Regra de L’Hospital. Mas antes de aplicar a nossa regrinha vamos ter que dar uma mexida na função. Bora lá?

Passo 2

Pela Regra de L’Hospital, nós devemos derivar a função de cima, derivar a função debaixo e depois calculamos o limite, quando temos uma fração. Mas esse não é o nosso caso. Então vamos mexer na função para que ela fique com uma cara de fração e possamos aplicar a regra.

Vamos começar aplicando uma propriedade logarítmica, onde

lim x → ∞ ⁡ x e - x = e lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x e - x = e lim x → ∞ e - x ⁡ ln ⁡ x

Repara que o nossos limite, lá no expoente, ficou assim

lim x → ∞ e - x ⁡ ln ⁡ x = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x / e x  

Calculando o limite,

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x / e x = ∞ ∞

Opaaa! Temos uma indeterminação do tipo ∞ ∞ . Então bora aplicar L’Hospital.

Passo 3

Derivando o nosso limite ficamos com

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x e x   = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x ' e x ' = lim x → ∞ ⁡ 1 x e x = 0

Mas ainda não acabamos. Lembra que no passo 2 tinhamos

lim x → ∞ ⁡ x e - x = e lim x → ∞ e - x ⁡ ln ⁡ x

Agora que sabemos que lim x → ∞ e - x ⁡ ln ⁡ x = 0 , temos que

lim x → ∞ ⁡ x e - x = e lim x → ∞ e - x ⁡ ln ⁡ x = e 0 = 1

Prontinho!

Resposta

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