1. Nesse exercício, vamos revisitar alguns limites que já apareceram em listas anteriores. Como agora temos à disposição a noção de limites infinitos, podemos nos perguntar se limites que antes eram classificados como n ã o   e x i s t e n t e s agora podem ser classificados como - ∞ ou + ∞ . Classifique os limites abaixo agora usando a noção generalizada que inclui - ∞ ou + ∞ como resposta.

b. lim x → - 2 + ⁡ 3 x 3 - 4 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2 ,   lim x → - 2 - ⁡ 3 x 3 - 4 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2   e   lim x → - 2 ⁡ 3 x 3 - 4 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Nessa questão temos alguns limites para resolver. Repara que todos tendem a zero. Então vamos resolver de forma genérica (sem considerar os limites laterais) e ver o resultado.

Substituindo por - 2 ficamos com

lim x → - 2 ⁡ 3 x 3 - 4 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2 = 9 0 = ± ∞

Repara que ao calcularmos encontramos 9 / 0 , ou seja, conforme nos aproximamos de zero, nosso limite tendo a números muito grandes. Agora resta saber se vai para números muitos grandes positivos ou negativos.

Então bora lá!

Passo 2

Começando por x tendendo a - 2 pela direita,

lim x → - 2 + ⁡ 3 x 3 - 4 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2 = 9 0 -

Repara que como estamos nos aproximando pela direita, x assumirá valores muito pequenos negativos. Por isso, indicamos 0 - .

Deste modo, teremos um número muito grande positivo. Ou seja,

lim x → - 2 + ⁡ 3 x 3 - 4 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2 = - ∞

Passo 3

Agora vamos para x tendendo a - 2 pela esquerda,

lim x → - 2 - ⁡ 3 x 3 - 4 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2 = 9 0 +

Repara que como estamos nos aproximando pela esqueda, x assumirá valores muito pequenos positivos . Por isso, indicamos 0 + .

Deste modo, teremos um número muito grande negativo. Ou seja,

lim x → - 2 - ⁡ 3 x 3 - 4 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2 = + ∞

Passo 4

Por fim vamos fazer o x → - 2 . Para isso temos que avaliar se os limites laterais são iguais. Como vimos nos passos anteriores que os limites laterais são diferentes,

lim x → - 2 + ⁡ 3 x 3 - 4 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2 ≠ lim x → - 2 - ⁡ 3 x 3 - 4 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2

Temos que esse limite não existe

lim x → - 2 ⁡ 3 x 3 - 4 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2 = ∄

Resposta

- ∞ ,   + ∞   e   ∄

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