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Exercícios Resolvidos de Indeterminação Infinito - Infinito

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Enunciado

UFSC – Cálculo 1 – Lista 1.8 – Questão C3

As definições limites no infinito possuem versões formais semelhantes às que vimos para o limite usual. Tente formular uma definição precisa para todos os tipos de limites no infinito e depois pesquise se sua definição está correta.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema fala sobre as definições de limites no infinito

Podemos analisar os possíveis resultados olhando para x → + ∞

  • A função pode valer um valor finito L
  • A função pode explodir para + ∞
  • Ou a função pode explodir para - ∞

E essas três opções também podem ocorrer quando analisamos a função para x → - ∞

ou seja, podemos ter muitos resultados quando tratamos de limites no infinito!

Mas relaxa! Vamos ver uma definição que que reduza essas opções para duas quando x → + ∞ , e podemos espelhar para x → - ∞

Vamos fazer passo a passo, juntinhos!

Passo 2

Primeiro vamos analisar limite no infinito. Vamos supor que exista o limite e ele é finito, assim

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = L

Vamos olhar para apenas o lado positivo de x , então existe um certo valor R > 0 de modo que ( R ,   ∞ ) ⊂ D o m ( f ) e seja L ∈ R

Isso significa que o domínio da nossa função está no lado positivo e que o valor do limite é um valor L real. Beleza até aqui?

f pela direita (valores positivos de x ) é L , se para qualquer valor de ϵ , N > 0 , satisfaz para qualquer valor de x > N ( N conjunto maior do que 0 ) a seguinte desigualdade

x > N ,   f x - L < ϵ

x estando no infinito, valendo qualquer valor enorme, o limite vai ser sempre L

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = L

E se você inverter para o lado negativo, x → - ∞ , trocando l a d o   p o s i t i v o → l a d o   n e g a t i v o ,   R > 0   p a r a   R < 0 e assim por diante, vai chegar no limite pela esquerda!

Obs.: lembrando que ϵ é um símbolo para números beeem pequenos na matemática! Beirando ao zero!

Passo 3

Agora vamos olhar com carinho para os limites no infinito que resultam em infinito!

Queremos uma forma de dizer que

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = + ∞

Ou seja, que para qualquer que seja o valor de x positivo, a função f ( x ) sempre vai valer um valor maior do que qualquer outro valor finito

Vamos colocar isso em termos matemáticos! Começando definindo que o conjunto do domínio da função f seja real e esteja no lado positivo de x

R > 0 ,   R , 0 ⊂ D o m ( f )

Agora, o limite da função explode para + ∞ se existir um certo valor de M , com M > 0 , e que para qualquer valor de x no conjunto N (que pertence aos xizes positivos), tenhamos essa desigualdade aqui

x > N ,   f x > M

Mostramos assim que não importa o valor de M , temos que nossa f ( x ) sempre será maior: isso significa que a função explode no infinito!

x , espelhando essa definição para o x → - ∞ , e obter o mesmo resultado!

Obs2.: lembrando que na matemática M significa um número beeem grande

E taí nosso resultado!

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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Calcule o limite, se existir.underset(t - 0)(lim) (1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t)
Encontre o limite ou demonstre que não existe.underset(x - oo)(lim) sqrt(x^2 + a x) - sqrt(x^2 + b x)
Estime o valor de lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x usando uma tabela de valores para f ( x ) para conjecturar o valor do limite. Demonstre que sua conjectura está correta.
Encontre o limite ou demonstre que o mesmo não existe. lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x
Calcule.underset(x - 2^+)(lim) (x^2 - 4)/(x^2 - 4 x + 4)