Calcule os limites abaixo:

d) lim x → 2 ⁡ x 3 + x 2 + 1 x 2 - 4

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite dessa função quando ela se aproxima de 2 . Repare que se a gente substituir o 2 no lugar do x , nós vamos ter uma indeterminação do tipo c 0 , onde c é uma constante.

A gente poderia tentar fatorar pra fugir da indeterminação, mas isso não dá muito certo nesse caso. Então, vamos calcular os limites laterais pra ver o que acontece quando x vai se aproximando de 2 pela esquerda e pela direita.

lim x → 2 + ⁡ x 3 + x 2 + 1 x 2 - 4

lim x → 2 - ⁡ x 3 + x 2 + 1 x 2 - 4

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar com limite lateral pela direita:

lim x → 2 + ⁡ x 3 + x 2 + 1 x 2 - 4

Pra gente conseguir visualizar melhor, vamos escrever como um produto de limites assim:

lim x → 2 + ⁡ x 3 + x 2 + 1 ∙ lim x → 2 + ⁡ 1 x 2 - 4

Substituindo 2 no primeiro limite, teríamos lim x → 2 + ⁡ ( 2 ) 3 + ( 2 ) 2 + 1 = 13 . Mas e o lim x → 2 + ⁡ 1 x 2 - 4 ? Repare que quando x vai se aproximando de 2 pela direita, x é positivo e maior do que 2 . Então, x 2 - 4 > 0 e vai se aproximando cada vez mais de zero. Assim, nós teríamos:

lim x → 2 + ⁡ 1 x 2 - 4 = 1 0 = ∞

Logo,

lim x → 2 + ⁡ x 3 + x 2 + 1 ∙ lim x → 2 + ⁡ 1 x 2 - 4 = 13 ∙ ∞

E um número infinitamente grande vezes uma constante continua sendo um número infinitamente grande. Assim,

lim x → 2 + ⁡ x 3 + x 2 + 1 x 2 - 4 = ∞

Passo 3

Agora quando x se aproxima de 2 pela esquerda, vamos ter:

lim x → 2 - ⁡ x 3 + x 2 + 1 x 2 - 4

Vamos escrever como um produto de limites:

lim x → 2 - ⁡ x 3 + x 2 + 1 ∙ lim x → 2 - ⁡ 1 x 2 - 4

Substituindo 2 no primeiro limite, teríamos lim x → 2 + ⁡ ( 2 ) 3 + ( 2 ) 2 + 1 = 13 . Agora repare que quando x vai se aproximando de 2 pela esquerda, x é negativo e menor do que 2 . Então, x 2 - 4 < 0 e vai se aproximando cada vez mais de zero. Assim, nós teríamos:

lim x → 2 - ⁡ 1 x 2 - 4 = 1 0 = - ∞

Logo,

lim x → 2 + ⁡ x 3 + x 2 + 1 ∙ lim x → 2 + ⁡ 1 x 2 - 4 = 13 ∙ ( - ∞ )

E um número infinitamente grande e negativo vezes uma constante continua sendo um número infinitamente grande e negativo. Assim,

lim x → 2 + ⁡ x 3 + x 2 + 1 x 2 - 4 = - ∞

E como nossos limites laterais possuem resultados diferentes, podemos dizer que lim x → 2 ⁡ x 3 + x 2 + 1 x 2 - 4 não existe:

lim x → 2 ⁡ x 3 + x 2 + 1 x 2 - 4 = ∄

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 2 ⁡ x 3 + x 2 + 1 x 2 - 4 = ∄

Exercícios de Livros Relacionados