Calcule os limites abaixo:

e) lim t → ∞ ⁡ t 2 + 1 3 + t

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite dessa função quando ela se aproxima de um número infinitamente grande.

Repare que se a gente substituir o infinito no lugar do x , nós vamos ter uma indeterminação do tipo ∞ ∞ . Então, precisamos achar uma maneira de fugir dessa indeterminação, manipulando nossa função.

Vamos lá!

Passo 2

Temos:

lim t → ∞ ⁡ t 2 + 1 3 + t

Pra fugir da indeterminação, vamos dividir cada termo por t :

lim t → ∞ ⁡ t 2 t + 1 t 3 t + t t

Simplificando, temos:

lim t → ∞ ⁡ t + 1 t 3 t + 1

Pela propriedade dos limites, nós podemos separar esse quociente em dois limites:

l i m t → ∞ t + 1 t l i m t → ∞ 3 t + 1

Repara que a medida que vamos nos aproximando de um valor muito grande no denominador de uma fração, o resultado da divisão vai se aproximando cada vez mais de zero, e quando x → ∞ , vamos ter:

l i m t → ∞ t + 1 t = ∞ + 0

Só que um número muito grande mais zero, continua sendo um número muito grande. Então, temos:

l i m t → ∞ t + 1 t = ∞

Da mesma forma, vamos ter:

l i m t → ∞ 3 t + 1 = 0 + 1 = 1

Colocando os resultados na nossa divisão, temos:

l i m t → ∞ t + 1 t l i m t → ∞ 3 t + 1 = ∞ 1 = ∞

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim t → ∞ ⁡ t 2 + 1 3 + t = ∞

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