Calcule, se existirem, os limites abaixo

lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 x + 1  

Passo 1

Um primeiro passo antes de tentarmos fazer qualquer rearranjo, é aplicar direto o limite que é dado na questão.

lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 x + 1   = ∞ ∞

Opa, deu indeterminação!! Então a gente vai precisar fazer rearranjo nessa situação. E como vamos fazer isso? Toda vez que você observar polinômios no numerador e denominador, uma boa alternativa é tentar colocar em evidência a maior potência do polinômio pra ver se é uma boa estratégia pra sair da indeterminação. Então vamos tentar fazer isso? Vem comigo!

Passo 2

No numerador a maior potência é quadrática, então vamos colocar ela em evidência. Por sua vez, no denominador é uma potência de 1 grau, e vamos fazer o mesmo.

x 2 + 1 x + 1 = x 2 1 + 1 x 2 x 1 + 1 x = x 1 + 1 x 2 x 1 + 1 x = 1 + 1 x 2 1 + 1 x

Passo 3

Agora que já temos uma simplificação, vamos verificar se nosso limite funciona, show?

lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x 2 1 + 1 x = 1 1 = 1

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 x + 1 = 1

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