1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

γ ) lim x → + ∞ ⁡ x s e n x + x cos ⁡ x x x - s e n x x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos que obter o limite da função f x = x s e n x + x cos ⁡ x x x - s e n x x para x tendendo a .

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

O cálculo de limite nada mais é o valor que a função f x tende para quando tendemos a um determinado valor a .

Nesse caso, não podemos simplesmente substituir x por e encontrar f ∞ pois se fizermos isso, vamos cair em uma indeterminação ∞ / ∞ .

Então vamos tentar manipular a função para encontrar algo para nos ajudar.

Bora lá! 😁

Passo 2

A função é dada por

f x = x s e n x + x cos ⁡ x x x - s e n x x

Se dividirmos tudo por x x , vamos obter

f x = x s e n x + x cos ⁡ x x x x x x x - s e n x x x x = s e n x + x cos ⁡ x x 1 - s e n x x x x

f x = s e n x x + x cos ⁡ x x 1 - s e n x x x x

Perceba que podemos chamar x x como 1 x , é a mesma coisa...

f x = s e n x x + cos ⁡ x x 1 - s e n x x x x

Entendeu o que fizemos aqui? 🤔

Passo 3

Aplicando essa função no limite, temos

lim x → + ∞ ⁡ x s e n x + x cos ⁡ x x x - s e n x x = lim x → + ∞ ⁡ s e n x x + cos ⁡ x x 1 - s e n x x x x

Perceba que os termos s e n x x , cos ⁡ x x e s e n x x x x vão a 0 já que s e n e c o s são limitados entre - 1 e 1 .

Aplicando o limite...

lim x → + ∞ ⁡ x s e n x + x cos ⁡ x x x - s e n x x = lim x → + ∞ ⁡ s e n x x + cos ⁡ x x 1 - s e n x x x x = 0 + 0 1 - 0

lim x → + ∞ ⁡ x s e n x + x cos ⁡ x x x - s e n x x = 0

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x s e n x + x cos ⁡ x x x - s e n x x = 0

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