Calcule os limites abaixo:

a) lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + x - 2 4 x 3 + x 2 - 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite dessa função quando ela se aproxima de um número infinitamente grande.

Repare que se a gente substituir o infinito no lugar do x , nós vamos ter uma indeterminação do tipo ∞ ∞ . Então, precisamos achar uma maneira de fugir dessa indeterminação, manipulando nossa função.

Vamos lá!

Passo 2

Temos:

lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + x - 2 4 x 3 + x 2 - 2

Pra fugir da indeterminação, vamos dividir cada termo pelo termo de maior potência, no caso, o x 3 . Assim:

lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 x 3 + x x 3 - 2 x 3 4 x 3 x 3 + x 2 x 3 - 2 x 3

Simplificando, temos:

lim x → ∞ ⁡ 3 x + 1 x 2 - 2 x 3 4 + 1 x - 2 x 3

Pela propriedade dos limites, nós podemos separar esse quociente em dois limites:

l i m x → ∞ 3 x + 1 x 2 - 2 x 3 l i m x → ∞ 4 + 1 x - 2 x 3

Repara que a medida que vamos nos aproximando de um valor muito grande no denominador, o resultado da nossa divisão vai se aproximando cada vez mais de zero. Então,

l i m x → ∞ 3 x + 1 x 2 - 2 x 3 = 0

Da mesma forma, vamos ter:

l i m x → ∞ 4 + 1 x - 2 x 3 = 4 + 0 + 0 = 4

Colocando os resultados na nossa divisão, temos:

l i m x → ∞ 3 x + 1 x 2 - 2 x 3 l i m x → ∞ 4 + 1 x - 2 x 3 = 0 4 = 0

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + x - 2 4 x 3 + x 2 - 2 = 0

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