Calcule os limites abaixo:

b) lim x → ∞ ⁡ x 7 + x 4 + x - 2 x 7 + x 6 - x 5 + x 4 - x 3 + x 2 - x + 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite dessa função quando ela se aproxima de um número infinitamente grande.

Repare que se a gente substituir o infinito no lugar do x , nós vamos ter uma indeterminação do tipo ∞ ∞ . Então, precisamos achar uma maneira de fugir dessa indeterminação, manipulando nossa função.

Vamos lá!

Passo 2

Temos:

lim x → ∞ ⁡ x 7 + x 4 + x - 2 x 7 + x 6 - x 5 + x 4 - x 3 + x 2 - x + 2

Pra fugir da indeterminação, vamos dividir cada termo pelo termo de maior potência, no caso, o x 7 . Assim:

lim x → ∞ ⁡ x 7 x 7 + x 4 x 7 + x x 7 - 2 x 7 x 7 x 7 + x 6 x 7 - x 5 x 7 + x 4 x 7 - x 3 x 7 + x 2 x 7 - x x 7 + 2 x 7

Simplificando, temos:

lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x 3 + 1 x 6 - 2 x 7 1 + 1 x - 1 x 2 + 1 x 3 - 1 x 4 + 1 x 5 - 1 x 6 + 2 x 7

Pela propriedade dos limites, nós podemos separar esse quociente em dois limites:

l i m x → ∞ 1 + 1 x 3 + 1 x 6 - 2 x 7 l i m x → ∞ 1 + 1 x - 1 x 2 + 1 x 3 - 1 x 4 + 1 x 5 - 1 x 6 + 2 x 7

Repara que a medida que vamos nos aproximando de um valor muito grande no denominador de uma fração, o resultado da divisão vai se aproximando cada vez mais de zero. Então,

l i m x → ∞ 1 + 1 x 3 + 1 x 6 - 2 x 7 = 1 + 0 + 0 - 0 = 1

Da mesma forma, vamos ter:

l i m x → ∞ 1 + 1 x - 1 x 2 + 1 x 3 - 1 x 4 + 1 x 5 - 1 x 6 + 2 x 7 = 1 + 0 - 0 + 0 - 0 + 0 - 0 + 0 = 1

Colocando os resultados na nossa divisão, temos:

l i m x → ∞ 1 + 1 x 3 + 1 x 6 - 2 x 7 l i m x → ∞ 1 + 1 x - 1 x 2 + 1 x 3 - 1 x 4 + 1 x 5 - 1 x 6 + 2 x 7 = 1 1 = 1

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x 7 + x 4 + x - 2 x 7 + x 6 - x 5 + x 4 - x 3 + x 2 - x + 2 = 1

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