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Exercícios Resolvidos de Indeterminação Infinito - Infinito

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 1.1eta.

1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

η ) lim x → + ∞ ⁡ x cos ⁡ x + 2 x 2 s e n 1 x x - 1 + x 2

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos que obter o limite da função f x = x cos ⁡ x + 2 x 2 s e n 1 x x - 1 + x 2 para x tendendo a + ∞ .

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

O cálculo de limite nada mais é o valor que a função f x tende para quando tendemos a um determinado valor a .

Nesse caso, não podemos simplesmente substituir x por + ∞ e encontrar f + ∞ pois se fizermos isso, vamos cair em uma indeterminação ∞ / ( ∞ - ∞ ) .

Então vamos tentar manipular a função para encontrar algo para nos ajudar.

Bora lá! 😁

Passo 2

A função é dada por

f x = x cos ⁡ x + 2 x 2 s e n 1 x x - 1 + x 2

Se multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado de x - 1 + x 2 , vamos obter

f x = x cos ⁡ x + 2 x 2 s e n 1 x x - 1 + x 2 · x + 1 + x 2 x + 1 + x 2

f x = x cos ⁡ x + 2 x 2 s e n 1 x x + 1 + x 2 x - 1 + x 2 x + 1 + x 2

Simplificando um pouquinho...

f x = x cos ⁡ x + 2 x 2 s e n 1 x x + 1 + x 2 x 2 - 1 + x 2 2

f x = x cos ⁡ x + 2 x 2 s e n 1 x x + 1 + x 2 x 2 - 1 - x 2

f x = x cos ⁡ x + 2 x 2 s e n 1 x x + 1 + x 2 - 1

Assim, reescrevemos a função como

f x = - x cos ⁡ x + 2 x 2 s e n 1 x x + 1 + x 2

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Substituindo no limite, temos

lim x → + ∞ ⁡ x cos ⁡ x + 2 x 2 s e n 1 x x - 1 + x 2 = lim x → + ∞ ⁡ - x cos ⁡ x + 2 x 2 s e n 1 x x + 1 + x 2

Substituindo x por ∞ , vamos chegar em

lim x → + ∞ ⁡ x cos ⁡ x + 2 x 2 s e n 1 x x - 1 + x 2 = - ∞ cos ⁡ ∞ + 2 ∞ 2 s e n 1 ∞ ∞ + 1 + ∞ 2

Os termos ∞ cos ⁡ ∞ + 2 ∞ 2 s e n 1 ∞ e ∞ + 1 + ∞ 2 tendem a ∞ , portanto, temos que

lim x → + ∞ ⁡ x cos ⁡ x + 2 x 2 s e n 1 x x - 1 + x 2 = - ∞

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x cos ⁡ x + 2 x 2 s e n 1 x x - 1 + x 2 = - ∞

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Calcule o limite, se existir.underset(t - 0)(lim) (1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t)
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Estime o valor de lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x usando uma tabela de valores para f ( x ) para conjecturar o valor do limite. Demonstre que sua conjectura está correta.
Encontre o limite ou demonstre que o mesmo não existe. lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x
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