UFMG, Cálc.1, 2020.1, P1, 7
Sejam e números reais tais que
O valor de é
Passo 1
Faaaala, blz? Bora lá para a última questão dessa prova.
Esse problema pede para gente calcular um limite de algo com , porém, veja que esse limite existe e é igual a . Ou seja, se simplesmente olharmos para x indo para o infinito, teremos dificuldade para analisar o problema, algo que pode nos ajudar é colocar uma fração nessa expressão, pois quando temos algo do tipo e x indo para infinito, esses termos vão para zero e ajudam.
Passo 2
Ou seja, nosso objetivo aqui é forçar aparecer um denominador, como podemos fazer isso? Podemos fazer isso de uma forma esperta, multiplicando pelo conjugado dessa expressão. Ou seja:
A motivação de usar isso é sumir com a raiz do numerador, pois podemos usar a seguinte fatoração:
Usando essa fatoração, temos:
Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos fazer o que foi dito no começo, queremos fazer aparecer coisas do tipo , para isso, vamos colocar em evidencia da seguinte forma:
Ou seja:
Agora temos que refletir. O denominador desse limite é um número real que podemos calcular, ou seja, não temos problema com ele, porém se olharmos para o numerador temos um problema.
Veja que a única chance desse limite dar problema é o termo ir para infinito, quando vai para infinito, assim o limite nunca seria igual a , pois teríamos algo indo para infinito, sobre um número, sendo igual a -7, seria impossível.
Ou seja, nós temos que fazer o termo não ir para infinito quando vai, como fazer isso?
Basta fazermos com que , ou seja . Se isso ocorrer tá tudo certo, o limite pode e vai existir.
Agora bora voltar usando :
Olhando no limite:
E por isso, temos:
Dai, e assim terminamos essa provinha, uma questão interessante para aprender de verdade, pois é bem comum aparecer problemas assim, que fazem a gente pensar nas condições para um limite funcionar.
Resposta
Letra D