UFSC – Cálculo 1 – Lista 1.8 – Questão C2
Sejam e funções polinomiais. Baseado nos exercícios já resolvidos, formule um teorema que indique o resultado dos limites e
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?
O problema disse para considerarmos dois polinômios: e , mas não disse grau, forma, ou outra coisa. Só sabemos que são polinômios
Beleza até aqui?
E baseado em exercícios anteriores, pediu para formularmos um teorema que indique o resultado desses limites aqui
Calma! Se você chegou até aqui nas listas, já sabe inconscientemente esses teoremas! A ideia é colocar em forma de regrinhas o que você já provou calculando!
Mas relaxa!
Vamos fazer passo a passo, juntinhos!
Passo 2
Primeiro vamos olhar para o caso em que os graus dos polinômios são iguais!
Sejam e
Como os graus são iguais, no infinito, apenas os termos de maior grau vão predominar. Então teremos que o limite será a divisão entre os coeficientes dos termos de maior grau dos polinômios!
Beleza?
Passo 3
Agora vamos olhar para o caso em que o grau do de baixo é maior do que o grau do que está em cima
Vamos a um exemplo prático: ,
Já calculamos esse tipo de limite! Sabemos que no infinito apenas os termos de maior grau contribuem! Assim,
E em qualquer situação de paridade do expoente, o resultado vai ser sempre 0!
Vamos para o último caso?
Passo 4
Agora o último caso é quando o grau do numerador é maior do que o grau do denominador!
E agora? Bom, vamos a um exemplo:
Só vamos considerar os de maiores termos então:
O resultado tanto pode ser positivo , quanto negativo, . Isso vai depender do grau do monômio que ficar! Mas sempre !
E não só isso! Vai depender também da divisão dos coeficientes dos polinômios de maior grau!
Aí serve aquela regrinha de sinais: sinais iguais , sinais diferentes . E também da potência: potência ímpar – conserva o sinal da base, potência par – resultado sempre positivo.
E é isso!
Beleza?
Espero ter ajudado!