Sejam f ( x ) e g ( x ) funções polinomiais. Baseado nos exercícios já resolvidos, formule um teorema que indique o resultado dos limites lim x → + ∞ ⁡ f x g x e lim x → - ∞ ⁡ f x g x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema disse para considerarmos dois polinômios: f ( x ) e g ( x ) , mas não disse grau, forma, ou outra coisa. Só sabemos que são polinômios

Beleza até aqui?

E baseado em exercícios anteriores, pediu para formularmos um teorema que indique o resultado desses limites aqui

lim x → + ∞ ⁡ f x g x ,         lim x → - ∞ ⁡ f x g x

Calma! Se você chegou até aqui nas listas, já sabe inconscientemente esses teoremas! A ideia é colocar em forma de regrinhas o que você já provou calculando!

Mas relaxa!

Vamos fazer passo a passo, juntinhos!

Passo 2

Primeiro vamos olhar para o caso em que os graus dos polinômios são iguais!

Sejam f x = a x n + a 1 x n - 1 + … e g x = b x n + b 1 x n - 1 + …

lim x → ± ∞ ⁡ f x g x

Como os graus são iguais, no infinito, apenas os termos de maior grau vão predominar. Então teremos que o limite será a divisão entre os coeficientes dos termos de maior grau dos polinômios!

lim x → ± ∞ ⁡ f x g x = a x n b x n = a b

Beleza?

Passo 3

Agora vamos olhar para o caso em que o grau do de baixo é maior do que o grau do que está em cima

g r a u   g x > g r a u   f ( x )

Vamos a um exemplo prático: f x = x + 1 , g x = x 3 - 2 x

Já calculamos esse tipo de limite! Sabemos que no infinito apenas os termos de maior grau contribuem! Assim,

lim x → ± ∞ ⁡ f x g x = lim x → ± ∞ ⁡ x x 3 = lim x → ± ∞ ⁡ 1 x 2 = 0

E em qualquer situação de paridade do expoente, o resultado vai ser sempre 0!

Vamos para o último caso?

Passo 4

Agora o último caso é quando o grau do numerador é maior do que o grau do denominador!

E agora? Bom, vamos a um exemplo:

f x = a x 4 + 3 x - 1 ,   g x = b x 3 - 2 x

Só vamos considerar os de maiores termos então:

lim x → ± ∞ ⁡ f x g x = lim x → ± ∞ ⁡ a x 4 b x 3 = lim x → ± ∞ ⁡ a x b = ± ∞

O resultado tanto pode ser positivo + ∞ , quanto negativo, - ∞ . Isso vai depender do grau do monômio que ficar! Mas sempre !

E não só isso! Vai depender também da divisão dos coeficientes dos polinômios de maior grau!

Aí serve aquela regrinha de sinais: sinais iguais ( + ) , sinais diferentes ( - ) . E também da potência: potência ímpar – conserva o sinal da base, potência par – resultado sempre positivo.

E é isso!

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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