UFSC – Cálculo 1 – Lista 1.8 – Questão C4
Mostre que toda função polinomial de grau ímpar possui pelo menos uma raiz real. Ao final de sua demonstração, explique por que o mesmo argumento não funciona para funções polinomiais de grau par. Sugestão. Seja uma função polinomial de grau ímpar. Utilize seus conhecimentos de limite para mostrar que e ou que e . Com esse resultado, utilize o significado de limite para concluir a existência de tais que e : Por fim, aplique um teorema visto nas aulas para concluir o resultado.
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?
O problema disse que toda função polinomial de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real. Mas como mostrar isso?
Por meio dos limites! Vamos supor uma função ímpar qualquer, e mostrar que para cada lado, a função explode de maneira diferente! E se ela explode ora para valores positivo, ora para valores negativos, em algum momento (pelo menos) ela precisa passar pelo zero!
Mas calma! Vamos colocar isso em forma mais matemática, mais formal
Mas relaxa!
Vamos fazer passo a passo, juntinhos!
Passo 2
Primeiro vamos supor uma função polinomial qualquer
precisamos ter que o coeficiente seja diferente de zero e que seja um número ímpar
Tranquilo?
Quando avaliamos o limite , cada termo com vai à zero, então temos o seguinte
Lembrando que e que o expoente é ímpar, então vai conservar o sinal da base, que é positivo, pois estamos olhando para positivo
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora vamos avaliar novamente o limite, mas agora para !
Podemos seguir os mesmos passos, colocar em evidência e avaliar o limite
Como , vamos nos focar apenas no sinal de
Assim o limite de um polinômio qualquer de grau ímpar, quando é
Tudo bem até aqui?
Vamos guardar os resultados dois passos 2 e 3!
Passo 4
Agora vamos aplicar esses resultados!
Como para , , deve existir algum valor de que
Assim como para , , então deve existir algum valor de que
Tudo bem até aqui?
O Teorema do Valor Intermediário nos diz que entre o intervalo fechado existe algum outro valor , que está ali dentro desse intervalo, e que
Pois se ela passa de valores negativos para valores positivos, então em algum momento a função vale zero!
Mas o mesmo não podemos afirmar para polinômios de grau par! Isso porque os limites no infinito de uma função par são sempre positivos. Vamos usar o exemplo de
Não temos garantia que a função troque de sinal! Isso ocorre com parábolas de raízes imaginárias! Tais funções não cruzam o eixo , elas estão “voando”, e não trocam de sinal, sendo sempre positivas (ou negativas, claro)
E é isso galera!
Espero ter ajudado!