Calcule, se existirem, os limites abaixo.

c) lim x → 0 ⁡ ( 2 + x ) 4 - 16 x

Passo 1

E aí galerinha 😊, joia? Aqui vamos resolver limites finitos, realizando manipulações matemáticas simples para evitarmos indeterminações. Temos que:

lim x → 0 ⁡ ( 2 + x ) 4 - 16 x

Primeira coisa que a gente observa é que se simplesmente resolvermos o limite de forma trivial, geral uma indeterminação por divisão por 0. Então, vamos partir pra esse polinômio de ordem 4 e ver se encontramos algo pra cancelar esse denominador. Fazendo sem muita pressa, na maciota, temos:

( 2 + x ) 4 = 2 4 + 4 ⋅ 2 3 x 1 + 6 ⋅ 2 2 x 2 + 4 ⋅ 2 1 x 3 + x 4

2 + x 4 = 16 + 32 x + 24 x 2 + 8 x 3 + x 4

Passo 2

Show, primeira parte concluída. Retornando ao limite, achamos o que a gente justamente buscou: as constantes vão se anular. Se liga:

lim x → 0 ⁡ 2 + x 4 - 16 x

Transformando pra o que a gente já calculou:

lim x → 0 ⁡ 16 + 32 x + 24 x 2 + 8 x 3 + x 4 - 16 x

Cancelamos esse 32 x com o denominador x , temos então:

= lim x → 0 ⁡ 32 x + 24 x 2 + 8 x 3 + x 4 x

= lim x → 0 ⁡ x ( 32 + 24 x + 8 x 2 + x 3 ) x

= lim x → 0 ⁡ ( 32 + 24 x + 8 x 2 + x ³ )

Temos uma função polinomial, contínua em todos os reais, podemos então aplicar zero e encontrar nosso resultado:

32 + 24 0 + 8 0 2 + 0 3 = 32

This is it, see you space cow(girls/boys) o/

Resposta

c) 32

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