1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

δ ) lim x → - ∞ ⁡ 7 x 12 + 5 x 4 + 7 4 2 x 3 + 2

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos que obter o limite da função f x = 7 x 12 + 5 x 4 + 7 4 2 x 3 + 2 para x tendendo a - ∞ .

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

O cálculo de limite nada mais é o valor que a função f x tende para quando tendemos a um determinado valor a .

Nesse caso, não podemos simplesmente substituir x por - ∞ e encontrar f - ∞ pois se fizermos isso, vamos cair em uma indeterminação ∞ / ∞ .

Então vamos tentar manipular a função para encontrar algo para nos ajudar.

Bora lá! 😁

Passo 2

A função é dada por

f x = 7 x 12 + 5 x 4 + 7 4 2 x 3 + 2

Vamos dividir o numerador e o denominador pela variável de maior grau do denominador, ou seja, por x 3

f x = 7 x 12 + 5 x 4 + 7 4 x 3 2 x 3 x 3 + 2 x 3

Podemos dizer que x 3 é a mesma coisa que x 12 4 . Assim o numerador fica

f x = 7 x 12 + 5 x 4 + 7 4 x 3 4 2 x 3 x 3 + 2 x 3 = 7 x 12 + 5 x 4 + 7 x 12 4 2 x 3 x 3 + 2 x 3

Simplificando...

f x = 7 x 12 x 12 + 5 x 4 x 12 + 7 x 12 4 2 x 3 x 3 + 2 x 3 = f x = 7 + 5 x 8 + 7 x 12 4 2 + 2 x 3

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Aplicando o limite nessa função...

lim x → - ∞ ⁡ 7 x 12 + 5 x 4 + 7 4 2 x 3 + 2 = lim x → - ∞ ⁡ 7 + 5 x 8 + 7 x 12 4 2 + 2 x 3

Perceba que os termos 5 x 8 , 7 x 12 e 2 x 3 tendem a 0 se x tende a um valor muito alto.

Assim, se calcularmos o limite com essa ideia, temos

lim x → - ∞ ⁡ 7 x 12 + 5 x 4 + 7 4 2 x 3 + 2 = lim x → - ∞ ⁡ 7 + 5 x 8 + 7 x 12 4 2 + 2 x 3 = 7 + 0 + 0 4 2 + 0

lim x → - ∞ ⁡ 7 x 12 + 5 x 4 + 7 4 2 x 3 + 2 = 7 4 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ 7 x 12 + 5 x 4 + 7 4 2 x 3 + 2 = 7 4 2

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