1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

w) lim x → + ∞ ⁡ x - s e n x x + s e n x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos que obter o limite da função f x = x - s e n x x + s e n x para x tendendo a + ∞ .

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

O cálculo de limite nada mais é o valor que a função f x tende para quando tendemos a um determinado valor a .

Nesse caso, não podemos simplesmente substituir x por e encontrar f ∞ pois se fizermos isso, vamos cair em uma indeterminação ∞ / ∞ .

Então vamos tentar manipular o limite para encontrar algo para nos ajudar.

Bora lá! 😁

Passo 2

O limite é dado por

lim x → + ∞ ⁡ x - s e n x x + s e n x

Se dividirmos o numerador e o denominador por x , vamos chegar em

lim x → + ∞ ⁡ x x - s e n x x x x + s e n x x = lim x → + ∞ ⁡ 1 - s e n x x 1 + s e n x x

Dessa forma, se aplicarmos o limite agora, os termos s e n x x vão a 0 , pois o numerador está contido no intervalo de - 1 a 1 e o denominador vai a um valor muito grande, assim, temos que

lim x → + ∞ ⁡ x - s e n x x + s e n x = lim x → + ∞ ⁡ 1 - s e n x x 1 + s e n x x = 1 - 0 1 + 0

lim x → + ∞ ⁡ x - s e n x x + s e n x = 1

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x - s e n x x + s e n x = 1

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