Calcule, se existirem, os limites abaixo.

e) lim x → - 4 ⁡ 2 ( x 2 - 8 ) + x x + 4

Passo 1

E aí galerinha 😊, joia? Bora partir pra essa questão!

lim x → - 4 ⁡ 2 ( x 2 - 8 ) + x x + 4

Essa parece ser monstrinha, mas vou mostrar pra vocês que vai ser melhor do que parece. (Inclusive ela é muito parecida com a questão anterior que também temos no site, dessa mesma lista, a C1d). Vamos tentar multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado da função. É o que a gente geralmente faz quando vemos uma raiz dentro de um limite.

Passo 2

Lembrando pra gente achar o conjugado desse tipo de raiz, basta pegar inverter o sinal do inteiro que tá de fora da raiz. Portanto o conjugado é:

2 x 2 - 8 - x

Passando então pros cálculos que a gente planejou:

lim x → - 4 ⁡ 2 x 2 - 8 + x x + 4

= lim x → - 4 ⁡ 2 ( x 2 - 8 ) + x x + 4 × 2 ( x 2 - 8 ) - x 2 ( x 2 - 8 ) - x

Resolvendo a multiplicação, temos:

lim x → - 4 ⁡ 2 ⋅ x 2 - 8 x + 4 2 x 2 - 8 - x

Passo 3

Tá, pode parecer bem complicado ainda, mas vamos resolver primeiro esse numerador:

= lim x → - 4 ⁡ x 2 - 16 ( x + 4 ) ( 2 ( x 2 - 8 ) - x )

Aqui vamos usar um artificio bem útil que é o “produto da soma pela diferença”. Vamos conseguir usar ele se a gente abrir o polinômio do numerador em:

x 2 - 16 = ( x + 4 ) ( x - 4 )

Por ele, temos:

= lim x → - 4 ⁡ x + 4 x - 4 x + 4 2 x 2 - 8 - x

Cancelando os termos iguais:

= lim x → - 4 ⁡ ( x - 4 ) ( 2 ( x 2 - 8 ) - x )

Aplicando - 4 , que é o nosso limite:

- 4 - 4 2 - 4 2 - 8 - - 4

= - 8 ( 16 + 4 )

E aqui basta resolver essa raiz e partir pro abraço.

= - 8 8

= - 1

E é isso meus guerreiros, até a próxima 😉

Resposta

e) - 1

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